Pentacisdodecaedro

Pentacisdodecaedro
(Animazione)
Tipo	Solido di Catalan
Forma facce	Triangoli isosceli
Nº facce	60
Nº spigoli	90
Nº vertici	32
Valenze vertici	5, 6
Caratteristica di Eulero	2
Duale	Icosaedro troncato
Proprietà	non chirale
Politopi correlati
Poliedro duale
Sviluppo piano
Manuale

In geometria solida il pentacisdodecaedro è uno dei tredici poliedri di Catalan, duale dell'icosaedro troncato. Può essere ottenuto incollando piramidi pentagonali su ognuna delle 12 facce del dodecaedro.

È un poliedro non regolare, le cui 60 facce sono identici triangoli isosceli aventi un lato che misura ${\displaystyle {\begin{matrix}{{9-{\sqrt {5}}} \over 6}\end{matrix}}}$ volte gli altri due.

L'area A ed il volume V di un pentacisdodecaedro i cui spigoli più corti hanno lunghezza a sono le seguenti:

${\displaystyle A={\begin{matrix}{5 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {{\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}}(421+63{\sqrt {5}})}}a^{2}}$

${\displaystyle V={\begin{matrix}{5 \over 36}\end{matrix}}(41+25{\sqrt {5}})a^{3}}$

Il poliedro duale del pentacisdodecaedro è l'icosaedro troncato, un poliedro archimedeo.

Il gruppo delle simmetrie del pentacisdodecaedro ha 120 elementi; il gruppo delle simmetrie che preservano l'orientamento è il gruppo icosaedrale ${\displaystyle I\cong A_{5}}$. Sono gli stessi gruppi di simmetria del dodecaedro, dell'icosaedro e dell'icosaedro troncato.

I 30 spigoli più lunghi del pentacisdodecaedro e i 20 vertici in cui essi concorrono, ovvero i vertici con valenza 6, sono spigoli e vertici di un dodecaedro. Gli altri 12 vertici del pentacisdodecaedro sono vertici di un icosaedro.

• Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.

• Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.

• Icosaedro troncato
• Dodecaedro
• Poliedro archimedeo
• Poliedro di Catalan

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul pentacisdodecaedro

• (EN) Eric W. Weisstein, Pentakis Dodecahedron, su MathWorld, Wolfram Research.

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