Insieme infinito

Un insieme infinito è intuitivamente un insieme per il quale non sia possibile elencare i suoi elementi.

Definizioni matematicamente rigorose si possono dare nella teoria degli insiemi. In particolare esistono tre tipi di caratterizzazione o possibili definizioni degli insiemi infiniti:

un insieme $X$ è infinito se non è finito ovvero non esiste una corrispondenza biunivoca tra X e un numero naturale (insieme non-finito)
un insieme $X$ è infinito se esiste una corrispondenza biunivoca tra $X$ ed un suo sottoinsieme proprio (insieme infinito secondo Dedekind)
un insieme $X$ è infinito se contiene $\mathbb {N}$ i numeri naturali (insieme infinito secondo Cantor)

Le tre definizioni si possono dimostrare^[1] equivalenti assumendo l'assioma della scelta. Tale assioma si rivela in effetti indispensabile per mostrare che un insieme non-finito è infinito secondo Cantor o Dedekind: si può dimostrare che gli altri assiomi di Zermelo-Fraenkel da soli non possono provare l'equivalenza delle caratterizzazioni poiché ammettono un modello in cui ci sono insiemi che sono infiniti ma finiti rispetto all'accezione di Dedekind.

Note

^ Luca Barbieri Viale, Che cos'è un numero? : Una introduzione all'algebra, Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3, OCLC 898699172. URL consultato il 17 dicembre 2022.

Bibliografia

Luca Barbieri Viale, Teorema 2.26, Che cos'è un numero?, Milano, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 9788860306043.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) infinite set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Infinite Set, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] Luca Barbieri Viale, Che cos'è un numero? : Una introduzione all'algebra, Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3, OCLC 898699172. URL consultato il 17 dicembre 2022.

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