I metodi numerici per approssimare le soluzioni di un'equazione

Le equazioni matematiche sono una parte fondamentale della matematica e della fisica, che ci permettono di descrivere il mondo che ci circonda in modo preciso e rigoroso. In molti casi, tuttavia, non è possibile risolvere queste equazioni in modo analitico, ovvero non è possibile trovare una soluzione esatta esprimibile con funzioni elementari. In questi casi, si rendono necessari i metodi numerici, che ci permettono di approssimare la soluzione dell'equazione con un alto grado di precisione.

I metodi numerici sono basati sull'idea di ricavare la soluzione dell'equazione a partire da una successione di valori approssimati. Il primo passo consiste quindi nel selezionare un punto iniziale, chiamato punto di partenza, e poi di iterare un algoritmo che ci permette di ricavare il punto successivo, che ci avvicina sempre di più alla soluzione esatta.

Uno dei metodi numerici più semplici consiste nella cosiddetta ricerca della radice per bisezione. Questo metodo si basa sul fatto che se f è una funzione continua in un intervallo [a,b] e se f(a) e f(b) hanno segni opposti, allora esiste almeno un punto c in [a,b] tale che f(c) = 0. L'algoritmo consiste quindi nell'applicare ripetutamente la seguente procedura:

- Dividere l'intervallo [a,b] in due parti, calcolando il punto medio c = (a+b)/2.
- Valutare la funzione f in c e verificare se f(c) ha lo stesso segno di f(a) o di f(b).
- Se f(c) ha lo stesso segno di f(a), allora la radice si trova nell'intervallo [c,b], altrimenti si trova nell'intervallo [a,c].
- Ripetere la procedura finché non si raggiunge la precisione desiderata.

Una variante più efficiente di questo metodo è la ricerca della radice per il metodo di Newton-Raphson. Questo metodo si basa sull'idea di approssimare la funzione f con la sua tangente in un punto x_0, ovvero con la retta che passa per il punto (x_0, f(x_0)) e ha la stessa pendenza della retta tangente alla curva in x_0. La soluzione dell'equazione f(x) = 0 si ottiene quindi come punto d'intersezione tra la retta tangente e l'asse delle x. L'algoritmo consiste quindi nell'applicare ripetutamente la seguente procedura:

- Scegliere un punto iniziale x_0.
- Calcolare la tangente alla curva in x_0.
- Trovare il punto d'intersezione tra la tangente e l'asse delle x, ovvero il punto x_1 tale che f(x_1) = 0.
- Calcolare la tangente alla curva in x_1 e ripetere la procedura finché non si raggiunge la precisione desiderata.

In generale, il metodo di Newton-Raphson convergente molto più rapidamente della ricerca della radice per bisezione, ma richiede la conoscenza della derivata della funzione f. Inoltre, il metodo non sempre converge, ad esempio se si sceglie un punto iniziale troppo lontano dalla soluzione esatta o se la funzione presenta una tangente verticale.

Un'altra classe di metodi numerici molto utilizzata consiste nei metodi degli zeri di funzioni polinomiali. Questi metodi si basano sul fatto che ogni funzione polinomiale di grado n ha esattamente n radici complesse, e possono quindi essere utilizzati per ricavare le soluzioni di equazioni del tipo ax^n + bx^{n-1} + ... + k = 0. Uno dei metodi più semplici consiste nel calcolo delle radici di una funzione quadratica ax^2 + bx + c = 0 usando la formula risolutiva di secondo grado:

x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)

Per funzioni di grado superiore, esistono vari metodi numerici che si basano sulla riduzione del polinomio a una forma più semplice tramite la divisione per (x-r), dove r è una radice nota del polinomio, e sull'applicazione ripetuta di questo procedimento finché non si riduce il polinomio a una funzione di grado minore.

In conclusione, i metodi numerici sono uno strumento molto potente per risolvere equazioni matematiche che non possono essere risolte in modo analitico. Esistono molti altri metodi numerici oltre a quelli descritti in questo articolo, come ad esempio i metodi di interpolazione, i metodi di integrazione e i metodi di risoluzione di equazioni differenziali. La scelta del metodo più appropriato dipende dalle caratteristiche specifiche dell'equazione da risolvere e dalla precisione richiesta.