Successione complessa

In matematica, una successione complessa è una successione composta da numeri o funzioni complesse.

Una successione numerica complessa è una successione di infiniti termini complessi:

${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n},\dots }$

Si dice che una successione complessa ha limite ${\displaystyle z}$ se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$, con ${\displaystyle n_{0}>0}$, tale per cui:

${\displaystyle |z_{n}-z|<\varepsilon }$

quando ${\displaystyle n>n_{0}}$. Si scrive:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z}$

Geometricamente questo significa che, per valori sufficientemente grandi di n, i punti ${\displaystyle z_{n}}$ si trovano tutti all'interno di un intorno circolare di centro ${\displaystyle z}$ e raggio ${\displaystyle \varepsilon }$.

Supposto che i termini della successione siano ${\displaystyle z_{n}=x_{n}+i\cdot y_{n}}$ e il limite sia ${\displaystyle z=x+i\cdot y}$, allora si ha:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z}$

se e solo se:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\qquad \lim _{n\to \infty }y_{n}=y}$

cioè se la parte reale ed immaginaria dei termini della successione tendono singolarmente alla parte reale ed immaginaria del limite.

Infatti, quando ${\displaystyle n>n_{1}}$ e quando ${\displaystyle n>n_{2}}$ le due successioni reali soddisfano rispettivamente:

${\displaystyle |x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}\qquad |y_{n}-y|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$

ed è sufficiente scegliere il più grande degli indici ${\displaystyle n_{0}=\max(n_{1},n_{2})}$ affinché valgano entrambi i limiti. Allora, secondo la definizione:

${\displaystyle |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|\leq |x_{n}-x|+|y_{n}-y|=|z_{n}-z|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$

quando ${\displaystyle n>n_{0}}$. Viceversa, se per ${\displaystyle n>n_{0}}$ si ha:

${\displaystyle |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon }$

allora si ha anche:

${\displaystyle |x_{n}-x|\leq |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon \qquad |y_{n}-y|\leq |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon }$

Sia ${\displaystyle f_{n}(z):E\to \mathbb {C} }$ una successione di funzioni complesse su un dominio ${\displaystyle A}$ del piano complesso. Si dice che ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ converge puntualmente alla funzione ${\displaystyle f(z)}$ in ${\displaystyle A}$ se:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)=f(z)\qquad \forall z\in A}$

Si dice che converge uniformemente alla funzione ${\displaystyle f(z)}$ in ${\displaystyle A}$ se:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{E}\mid f_{n}(z)-f(z)\mid =0}$

Si vede facilmente che se si verifica:

${\displaystyle f_{n}(z)=u_{n}(x,y)+i\cdot v_{n}(x,y)\qquad f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)}$

allora ${\displaystyle \{f_{n}\}\to f}$ rispettivamente puntualmente e uniformemente se e solo se ${\displaystyle u_{n}\to u}$ e ${\displaystyle v_{n}\to v}$ rispettivamente puntualmente e uniformemente .

Lo stesso argomento in dettaglio: Successione di Cauchy e Criterio di convergenza di Cauchy.

Il criterio di Cauchy sulle successioni di funzioni complesse uniformemente convergenti afferma che ${\displaystyle \{f_{n}\}\to f}$ se e solo se esiste un numero ${\displaystyle M\geq 0}$ tale che:

${\displaystyle f_{n}(z)\leq M\qquad \forall z\in A}$

e tale che per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un indice ${\displaystyle n_{\varepsilon }}$ tale per cui:

${\displaystyle \sup _{E}\mid f_{n}(z)-f_{m}(z)\mid \leq \varepsilon \qquad \forall n,m\geq n_{\varepsilon }}$

• (EN) John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer Verlag, 1986
• (EN) Jerold E. Marsden, Michael J. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman, 1987
• (EN) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer Verlag, 1991

• Criterio di convergenza di Cauchy
• Limite di una successione
• Successione (matematica)
• Successione di funzioni

• (EN) https://web.archive.org/web/20140318105448/http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexSequenceSeriesMod.html
• (EN) https://www.math.lsu.edu/~neubrand/notes.pdf

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