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Più in generale il seno di un angolo , espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da , costruita usando la circonferenza unitaria.
Definendo come il seno nell'angolo si ottiene la funzione seno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica. In ambito italiano questa funzione viene spesso indicata con .
Definizione
Nel triangolo rosso in figura, il seno di è dato da
Più in generale si definisce il seno di un angolo a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo con l'asse delle ascisse come in figura, il seno dell'angolo è quindi definito come il valore della coordinata del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento).
Il dominio della funzione seno è l'insieme dei numeri reali, mentre l’immagine è l'intervallo reale , ossia applicando tale funzione a tutti i numeri reali si ottengono tutti i numeri reali compresi tra e , estremi inclusi.
La tabella seguente elenca i principali valori notevoli assunti dalla funzione seno:[1][2]
Nei testi di matematica il seno di è solitamente indicato con la notazione oppure , ove è un'abbreviazione del latino sinus usata anche nei paesi di lingua inglese.
Esiste un'altra definizione di seno che si collega alle rotazioni: il seno di un angolo è la componente lungo l'asse delle ordinate del versore , versore dell'asse delle ascisse, ruotato di .
La funzione seno è definita associando ad il seno dell'angolo in radianti, ed è indicata con . Poiché e definiscono lo stesso angolo, la funzione seno è una funzione periodica di periodo , dove è l'angolo giro.
Rappresentazione grafica della funzione senoDisegno y = sin x usando il cerchio trigonometrico unitario.
Seno e coseno
Tra seno e coseno esiste la relazione fondamentale:
che è conseguenza del teorema di Pitagora. Infatti nel triangolo nella seconda figura il coseno di è definito come
D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo fornisce la relazione
Seguono alcune equazioni fondamentali riguardanti la funzione seno:[4]
con l'aggiunta della condizione che:
Esiste anche un'identità trigonometrica che mette in relazione la funzione seno alla funzione tangente:
Questa identità si rivela di fondamentale importanza nella risoluzione di equazioni goniometriche in cui l'incognita figuri come argomento sia di un seno sia di un coseno o di funzioni derivate da queste. Esiste infatti un'analoga identità per quanto riguarda il coseno e l'uso congiunto di queste due identità permette la risoluzione dell'equazione nell'incognita .
La funzione seno ristretta all'intervallo come dominio e con codominio è biettiva, e quindi ha un’inversa, chiamata arcoseno e indicata con o con che riprende la notazione della funzione inversa.[6] Per definizione si ha quindi:
Altre proprietà
Dalla formula di Eulero si deduce che la funzione seno è in relazione con la funzione esponenziale e con la funzione seno iperbolico. Infatti per ogni numero reale si ha
Alcune formule particolari riguardanti la funzione seno coinvolgono l'operazione di prodotto.
Il seno è per definizione la metà di una corda, cioè un segmento che unisce due punti (detti estremi) di una circonferenza. In sanscrito, "metà corda" è reso con jya-ardha, a volte sostituito con ardha-jya e abbreviato in jya "corda". Questo termine fu importato nella lingua araba come jiba, un termine senza significato prima di allora, ma che rifletteva la pronuncia del nome jya. Secondo le regole della lingua araba, questo nome venne scritto con le due consonanti jb, senza vocali. Successivamente, quando i traduttori occidentali attinsero alle fonti arabe, interpretarono la parola jb come jaib, il cui significato era "baia". Infine l'italiano Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradusse la parola in latino come sinus, il cui significato era appunto "baia".