Secante (trigonometria)

Nel mondo di oggi, Secante (trigonometria) svolge un ruolo vitale nella vita quotidiana delle persone. Che sia per la sua influenza sulla cultura popolare, per il suo impatto sulla società o per la sua rilevanza in ambito professionale, Secante (trigonometria) è un argomento che non passa inosservato. In questo articolo esploreremo diversi aspetti legati a Secante (trigonometria), dalla sua origine ed evoluzione alla sua importanza nel mondo di oggi. Attraverso l'analisi di diverse prospettive ed esempi concreti, cercheremo di comprendere la vera rilevanza di Secante (trigonometria) nella nostra vita quotidiana.

Grafico della funzione secante

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia:[1]

Definizione geometrica

Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo

Data una circonferenza unitaria di centro , l'angolo al centro tale che , con , individua su questa un punto . La retta tangente alla circonferenza in interseca l'asse nel punto ; si definisce secante di l'ascissa del punto così definito (vedi Fig. 2).

In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto adiacente[2]: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:

comunque deducibili dalla definizione di secante.[3]

La funzione secante è definita su tutto tranne che nei punti , con , mentre la sua immagine è tutto l'insieme escluso l'intervallo .

Dimostrazione

Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna

Dimostriamo che .

Il triangolo è simile al triangolo (vedi fig.1).

Per il teorema di Talete vale la proporzione:

Ora

Quindi:

da cui

Calcolo dell'insieme di definizione e dell'immagine

I punti devono essere esclusi dal dominio, poiché la funzione si trova al denominatore e si annulla in questi punti. Per quanto riguarda l'immagine, invece, si ha

ossia

Pertanto

ossia

Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che :[1]

in radianti 0
in gradi 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°

Derivate

La derivata prima della secante, e le sue derivate successive, si ottengono ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente[4]:

Relazione trigonometrica secante-cosecante

Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria è la seguente relazione tra secante e cosecante:

per ogni con .

La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per .

Note

  1. ^ a b Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.182
  2. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6. p.182
  3. ^
  4. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p. V17

Bibliografia

  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6.
  • Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.

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