Metodo generalizzato dei momenti

Il metodo generalizzato dei momenti (in inglese Generalised Method of Moments, o GMM) è un metodo assai generale di ricerca degli stimatori di un modello statistico; costituisce una generalizzazione del metodo dei momenti. Il metodo è inoltre strettamente collegato al metodo dei minimi quadrati della teoria classica della stima.

La denominazione metodo generalizzato dei momenti è popolare nell'ambito dell'econometria, ma raramente utilizzate al di fuori di tale ambito; in altre discipline ci si riferisce più in generale a equazioni di stima.

Illustrazione del metodo

L'idea alla base del metodo generalizzato dei momenti è di sfruttare condizioni sui momenti, che possono essere derivate da un problema di stima con poco sforzo. Si consideri dunque un campione di dati $\ \left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ , e una funzione che dipende da un singolo dato e dal vettore di parametri oggetto di stima $\ \vartheta$ , e si imponga che tale funzione, in corrispondenza del valore "vero" dei parametri $\ \vartheta _{0}$ , abbia valore atteso nullo:

\ {\textrm {E}}\left=0

Nel metodo dei momenti, è necessario imporre una condizione del tipo sopra (relativa ai momenti di ordine 1, 2, etc.) per ciascun elemento del vettore $\ \vartheta$ ; ciò dà origine a un sistema, la cui soluzione è il vettore di stime $\ {\hat {\vartheta }}$ . Con il metodo dei momenti generalizzati, è possibile imporre un numero di condizioni che eccede la dimensione del vettore $\ \vartheta$ ; dal momento che il risultante sistema sarebbe indeterminato, le stime sono ottenute minimizzando una norma generalizzata delle condizioni sui momenti:

\ {\hat {\vartheta }}=\arg \min _{\vartheta \in \Theta }\left(\sum _{i}f\left(x_{i};\vartheta \right)\right)'W\left(\sum _{i}f\left(x_{i};\vartheta \right)\right)

Tutto porta a

DF=GMm(2rh:r alla quarta)=GMm(2h:r alla terza)

dove $\ \Theta$ denota lo spazio dei parametri, e $\ W$ è una matrice di pesi di dimensione opportuna.

Le stime risultanti dipendono ovviamente da $\ W$ ; in particolare, sotto alcune condizioni di regolarità è possibile determinare una matrice di pesi ottimale, che minimizza la varianza degli stimatori.

Bibliografia

Contributi storici

Hansen, L.P. (1982), Large Sample Properties of the Generalized Methods of Moments, Econometrica 50, 1029-1054, lo storico contributo di Lars Peter Hansen allo sviluppo del metodo generalizzato dei momenti.
Newey K., McFadden D. (1994) Large Sample estimation and Hypothesis testing, Handbook of Econometrics, Volume IV, ch. 36, Edited by R.F. Engle and D.L. McFadden, Elsevier Science

Manualistica

Greene, W.H. (1993), Econometric Analysis, Prentice-Hall, ISBN 0-13-013297-7, un testo introduttivo ma rigoroso, di carattere generale, considerato lo standard per un corso universitario di econometria pre-dottorato; il metodo generalizzato dei momenti è trattato nel capitolo 18.

Voci correlate

Metodo dei momenti (statistica)

Collegamenti esterni

(EN) Generalized Method of Moments / moments method, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.