Funzione gaussiana

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In matematica, una funzione gaussiana prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ed è una funzione della seguente forma:

${\displaystyle f(x)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}},}$

per qualunque costante reale ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$.

Le funzioni gaussiane con ${\displaystyle c^{2}=2}$ sono autofunzioni della trasformata di Fourier.

Le funzioni gaussiane si collocano tra le funzioni speciali "elementari" a cui mancano però "integrali elementari" in quanto i loro integrali non possono essere espressi mediante composizioni semplici (operazioni razionali e radicali) di funzioni elementari. Tuttavia i loro integrali impropri, dove l'integrazione è fatta su tutta la retta reale, possono essere valutati esattamente:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}~.}$

Questo integrale, detto integrale di Gauss, può essere ottenuto tramite il teorema dei residui dell'analisi complessa, ma può anche calcolarsi con un procedimento analitico semplice.

Ponendo ${\displaystyle I=\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$,

si ha che:

${\displaystyle I^{2}=\int _{0}^{+\infty }e^{-y^{2}}\,dy\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\int _{0}^{+\infty }\int _{0}^{+\infty }e^{-\left(y^{2}+x^{2}\right)}\,dydx.}$

Passiamo a coordinate polari cioè poniamo:

${\displaystyle x=r\cos {\theta }}$

${\displaystyle y=r\sin {\theta }}$

tenendo presente il primo quadrante, e con i valori di ${\displaystyle r,\theta }$ (rispettivamente raggio e angolo) compresi tra:

${\displaystyle 0\;<r\;<+\infty }$ e ${\displaystyle 0\;<\theta \;<{\frac {\pi }{2}}}$

Rispolverando il teorema di Pitagora per cui ${\displaystyle y^{2}+x^{2}=r^{2}}$, si può quindi scrivere:

${\displaystyle I^{2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{+\infty }re^{-r^{2}}\,dr\right)d\theta ,}$

da cui:

${\displaystyle I^{2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(-{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}|_{0}^{+\infty }\right)d\theta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta ={\frac {\pi }{4}}.}$

Notando poi che la funzione gaussiana è una funzione pari, ovvero che vale ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx}$, è dimostrato che ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2{\sqrt {I^{2}}}={\sqrt {\pi }}}$.

Le funzioni gaussiane si incontrano in numerosi capitoli della matematica, della fisica e delle altre discipline quantitative; vediamo alcuni esempi.

L'integrale della funzione gaussiana è la funzione degli errori.

In statistica e in teoria della probabilità, le funzioni gaussiane si presentano come funzioni di densità della distribuzione normale, che è la distribuzione di probabilità limite di somme sufficientemente complicate di funzioni di distribuzione, in accordo con il teorema del limite centrale.

La distribuzione normale relativa al valore atteso ${\displaystyle \mu }$ e alla deviazione standard σ e normalizzata ha la forma:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}~.}$

Si noti che è immediato ricondurre i parametri ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \sigma }$ ai parametri ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ di cui sopra.

Nello studio delle funzioni speciali la funzione gaussiana gioca il ruolo di funzione peso nella definizione dei polinomi di Hermite come polinomi ortogonali.

Una funzione gaussiana è la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico. Di conseguenza, le funzioni gaussiane (e i corrispondenti funzionali) sono anche associati allo stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi.

• Integrale di Gauss
• Polinomi di Hermite
• Variabile casuale di Lorentz
• Glossario sulle funzioni speciali
• Distribuzione normale

• (EN) Eric W. Weisstein, Gaussian Function, su MathWorld, Wolfram Research.

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