Elemento inverso

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In matematica, e in particolare in algebra astratta, dato un gruppo ${\displaystyle (G,\cdot )}$ e un suo elemento ${\displaystyle g,}$ si definisce elemento inverso (o semplicemente inverso) di ${\displaystyle g}$ un elemento ${\displaystyle h}$ appartenente a ${\displaystyle G}$ tale che:

${\displaystyle g\cdot h=h\cdot g=1_{G},}$

dove ${\displaystyle 1_{G}}$ indica l'elemento neutro del gruppo.

L'elemento inverso di un dato elemento ${\displaystyle g}$ è unico, infatti se avessimo due inversi ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle h^{*}}$ per ${\displaystyle g}$, avremmo che ${\displaystyle h^{*}=1_{G}\cdot h^{*}=(h\cdot g)\cdot h^{*}=h\cdot (g\cdot h^{*})=h\cdot 1_{G}=h}$. Inoltre, segue immediatamente dalla definizione che se ${\displaystyle h}$ è l'inverso di ${\displaystyle g,}$ allora ${\displaystyle g}$ è l'inverso di ${\displaystyle h.}$

In notazione additiva, dato il gruppo ${\displaystyle (G,+)}$ l'elemento inverso associato a ${\displaystyle g}$ si indica con ${\displaystyle -g}$ e si chiama di solito opposto. Nella notazione moltiplicativa, nei casi di gruppi numerici, l'elemento inverso si denota anche come reciproco e si indica con ${\displaystyle g^{-1}.}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Opposto (matematica).

Negli insiemi numerici considerati con l'addizione, l'opposto non esiste qualora l'insieme considerato non contenga numeri negativi. Ad esempio non esiste in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$.
In formule, dato un numero ${\displaystyle x,}$ il suo opposto ${\displaystyle x'}$ è quel numero tale che:

${\displaystyle x+x'=0.}$

L'opposto di un numero ha sempre il segno contrario a quello del numero stesso: l'opposto di un numero negativo è un numero positivo e viceversa. L'opposto di zero è zero stesso.

Lo stesso argomento in dettaglio: Reciproco.

Il reciproco o inverso di un numero ${\displaystyle x}$ è il numero che, quando moltiplicato per ${\displaystyle x,}$ dà 1. Viene denotato con ${\displaystyle 1/x}$ oppure con ${\displaystyle x^{-1}}$:

${\displaystyle x\cdot x^{-1}=x\cdot {\frac {1}{x}}=1.}$

Il reciproco dello zero non esiste.

• Gruppo (matematica)
• Opposto (matematica)
• Reciproco
• Elemento neutro
• Elemento assorbente

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