In questo articolo approfondiremo l'affascinante mondo di Coseno, esplorandone le molteplici sfaccettature e la sua rilevanza nella società odierna. Dalle sue origini fino alla sua presenza nella vita quotidiana, Coseno è stata nel tempo oggetto di dibattito, studio e ammirazione. Attraverso questo viaggio cercheremo di comprenderne l'impatto in diversi ambiti, dalla cultura alla tecnologia, compresa la sua influenza sulla politica e sull'economia. Impareremo come Coseno ha segnato pietre miliari significative nella storia e ha plasmato il modo in cui percepiamo il mondo che ci circonda. Allo stesso modo, esamineremo il suo ruolo oggi e le proiezioni sulla sua evoluzione futura. Presto esploreremo le varie prospettive e riflessioni che Coseno solleva nella società, aprendo la porta a un dibattito illuminante sulla sua rilevanza e significato nel contesto contemporaneo.
Più in generale, il coseno di un angolo , espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da , costruita usando la circonferenza unitaria.
Si potrebbe ulteriormente affermare che il coseno è l’ascissa dell’estremo calcolata rispetto al suo raggio unitario (della circonferenza goniometrica)
Da ciò si può dedurre che:
per i valori compresi tra 0° e 90° il coseno del punto diminuisce;
per i valori compresi tra 90° e 180° il coseno del punto diminuisce;
per i valori compresi tra 180° e 270° il coseno del punto aumenta;
per i valori compresi tra 270° e 360° il coseno del punto aumenta.
Definizione
Nel triangolo rosso in figura, il coseno di è dato da
Più in generale, si definisce il coseno prendendo una circonferenza di raggio unitario e la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo con l'asse delle ascisse come in figura. Il coseno dell'angolo è quindi definito come il valore della coordinata del punto di intersezione tra la prima semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento).
La tabella seguente elenca i principali valori notevoli assunti dalla funzione coseno:[1][2]
Esiste un'ulteriore definizione di coseno in relazione alle rotazioni: il coseno di un angolo è la componente lungo l'asse delle ascisse del versore, versore dell'asse , ruotato di .
Funzione coseno
La funzione coseno è definita associando a il coseno dell'angolo (rappresentato in radianti), ed è indicata con . Poiché e definiscono lo stesso angolo per qualsiasi intero, la funzione coseno è una funzione periodica di periodo La curva del grafico di questa funzione viene denominata cosinusoide.[3] L'insieme di variabilità della funzione coseno è , ossia applicando tale funzione a qualunque numero reale si ottiene sempre un numero reale compreso tra e , estremi inclusi.
Rappresentazione grafica di una cosinusoide.
Coseno e seno
Valori principali (coseno, seno)
Tra seno e coseno esiste la relazione fondamentale, detta prima relazione (o legge) fondamentale della trigonometria:[4]
La funzione coseno è una funzione a derivate equilimitate (si ha infatti per ogni ), ed è pertanto analitica; la sua espansione in serie di Taylor è:[8]
Si consideri la circonferenza unitaria, e sia , come in figura.
Si tracci la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo (antiorario) rispetto al semiasse positivo delle ascisse. Allora le coordinate del punto di intersezione della semiretta con la circonferenza sono . Si tracci il segmento che unisce al punto . Sia inoltre il punto di intersezione tra la semiretta e la retta di ascissa (asse delle tangenti). ha coordinate .
Notiamo che il triangolo è strettamente racchiuso nel settore circolare, il quale a sua volta è racchiuso strettamente nel triangolo . Vale allora la diseguaglianza delle rispettive aree (si ricordi che è l'angolo, espresso in radianti):
ossia
Dalla prima parte della diseguaglianza si ricava che , mentre manipolando la seconda, dividendo cioè per (il che è possibile perché ), si ha che:
ossia
dove alla fine si è moltiplicato per e per , il che preserva il verso della disuguaglianza perché sono entrambi positivi. Ricapitolando i risultati,
Questa identità, chiamata formula parametrica si rivela di fondamentale importanza nella risoluzione di equazioni goniometriche in cui l'incognita figuri come argomento sia di un seno sia di un coseno (o di funzioni derivate da queste). Esiste, infatti, un'analoga identità per quanto riguarda il seno, il che permette la risoluzione dell'equazione nell'incognita . Allo stesso modo, si può sfruttare questa relazione per il calcolo delle primitive di funzioni goniometriche.
Definizioni correlate
Il reciproco del coseno (definito dove il coseno è diverso da zero) è la secante:[11]
Il termine coseno deriva dal latino complementi sinus "seno del(l'angolo) complementare".[15] Infatti, per angoli tra e , il coseno di un angolo è il seno dell'angolo complementare, cioè
Questa relazione, che si ricava dalle formule di somma di archi, è valida per ogni ; tuttavia la nozione geometrica di angolo complementare si applica solo ad angoli positivi, e quindi compresi tra e .
L'origine del nome seno (inteso nel senso di baia) risale a sua volta a una errata traduzione di un termine arabo.